Chemia organiczna – zadanie obliczeniowe z 58. edycji

Dziś przeanalizujemy zagadnienie z chemii organicznej – będzie to zadanie obliczeniowe z 58. edycji

Konkretnie będzie to część obliczeniowa zadania czwartego z 58. edycji – I etap. Zadania tego typu pojawiają się częściej na I etapie.

Oto interesująca nas część treści z tego zadania :

,, W wyniku reakcji kwasu karboksylowego X z alkoholem jednowodorotlenowym Y tworzy się ester Z. Cząsteczki związków X, Y, i Z składają się tylko z atomów węgla, wodoru i tlenu, przy czym zawartość tlenu w kwasie karboksylowym (bezwodnym) X wynosi 71,1 %. …(ucięty przeze mnie fragment dotyczący pozostałej, nieobliczeniowej części zadania)… z 20,0 g kwasu otrzymano 27,0 g estru Z, co stanowi wydajność ponad 80 %.

Masy molowe zaokrąglamy do całości.

Uwaga – rozwiązanie w moim wykonaniu (warte w tym zadaniu olimpijskim 11 pkt) jest dość długie, ale pamiętajcie, to nie jest suche rozwiązanie jakie możecie sobie zobaczyć na stronie OlChemu, ale moje tłumaczenie tego rozwiązania. Więc nie bójcie się objętości tego wpisu. Chodzi mi o to, żebyście nie pomyśleli : ,,eee, nie opłaca się tego robić w ten sposób, to zbyt skomplikowane, za długie i za trudne”. Uwierzcie mi, warto zainwestować dużo czasu, aby zrozumieć ten wpis – i co najważniejsze, zacząć stosować zawarte tu metody tam, gdzie się da (a na pewno nie zobaczycie tego w olimpijskich rozwiązaniach). 


Zadanie rozpocząłbym od wyznaczenia wzoru kwasu X, ponieważ znam jego zawartość procentową tlenu, co jak wiecie z postu Podstawowe obliczenia w chemii nieorganicznej – cz. 2 jest już potężną informacją (zalecam wrócić do tamtego postu, zanim zaczniecie czytać dalej).

Niech nasz kwas X : C_{x}H_{y}O_{z}   – zauważcie, że ja traktuję ten kwas jak każdy inny związek organiczny i zapisuję go możliwie ogólnie, ten wzór mógłbym zastosować do każdego podanego tu związku X, Y czy Z. Póki co w ogóle nie wnoszę informacji do tego wzoru, że jest to akurat kwas karboksylowy. Czemu? Bo to może być chociażby hydroksywas, ketokwas itd. i można się nieźle przejechać (do domu bez awansu dalej) zakładając wzór powiedzmy C_{x}H_{y}COOH . Poza tym założyliśmy tylko jedną grupę karboksylową, a też niekoniecznie może to być prawda. Owszem, statystycznie będziecie mieć racje i najczęściej to są zwykłe, proste kwasy, ale nie zawsze.

Ja dlatego zawszę staram się to robić jak najbardziej ogólnie i czekam jak bardzo złożone pojawią się dalej obliczenia i stopniowo wtedy wprowadzam uproszczenia, założenia. Zobaczmy :

0,711 = \frac{16z}{12x + y + 16z}

8,532x + 0,711y = 4,624z

Wciąż taka postać równania wiele nam nie mówi. Ale to nie jest jeszcze postać ostateczna – zawsze w takim przypadku dzielimy równanie obustronnie przez najmniejszą liczbę jaka stoi przy obojętnie której niewiadomej – u nas będzie to liczba 0,711 i przez taką dzielę obustronnie :

12x + y = 6,5z         (zrobiłem zaokrąglenie : 6,5035 \approx 6,5 )

Zobaczcie, że wyszło bardzo ładnie, mam same pełne liczby i połówkę. Jako że oczywiście liczba atomów węgla, wodoru, tlenu jest całkowita w tym związku, co możemy ładnie zapisać :

x, y, z \in C_{+}

Naturalnie nasze równanie możemy pomnożyć przez 2, bo będziemy operować liczbami całkowitymi, więc wygodnie jest, żeby te liczby też były całkowite :

24x + 2y = 13z

Jak ugryźć to równanie? Zobaczcie, że zakładając najmniejsze możliwe x = 1 oraz y = 1 to lewa strona równania wyniesie 26, co da nam najmniejszą możliwą w takim razie wartość z= 2 .

\begin{cases} x = 1 \\y = 1 \\z = 2 \end{cases}

Inny myk, to zauważenie, że lewa część równania musi być podzielna przez 13, bo prawa strona będzie podzielna przez 13, bo tam stoi przecież człon : 13z .

2(12x + y) = 13z

Przeanalizujmy ten człon po stronie lewej, bo to nas teraz interesuje 2(12x +y) i to musi być podzielne na 13. Dwójka przed nawiasem się na 13 nie dzieli, zatem to wyrażenie w nawiasie musi być podzielne na 13. I teraz wystarczy zadać sobie pytanie – kiedy wyrażenie (12x + y) będzie podzielne na 13 pamiętając, że x oraz y są liczbami całkowitymi? Tylko wtedy jeśli x = y ( z matematycznego punktu widzenia nie tylko, bo możliwe jest chociażby rozwiązanie : x = 1 y = 14 , ale taki związek nie istnieje, bo jest za mało węgli, a za dużo wodorów. Czyli tak naprawdę trzeba wziąć jeszcze pod uwagę nierówność :

y < 2x + 2 ( co wynika z gimnazjalnego wzoru na              węglowodory : C_{x}H_{2x+2} ).

*można się tu trochę pogubić – dla mnie rozwiązywanie takich zadań w ten sposób jest jak najbardziej naturalne, ponieważ w swoim życiu przeliczyłem już setki takich zadań – czyli mam wprawę. Wy prawdopodobnie jeszcze jej nie macie, ale nie martwcie się. Mi to też długo zajmowało, to wymaga po prostu treningu.

*generalnie kilka takich zasad ,,mniej więcej”

  • niewiadome muszą być całkowite dodatnie, inaczej rozwiązań jest nieskończenie wiele
  • patrzcie na zależności chemiczne (już nawet abstrahując od tego konkretnie zadania), czyli nie może być przecież wzoru CH_{5} mimo, że matematycznie to się może zgadzać. Nie może być też ujemnej liczby atomów, ujemnego stężenia itd. Nie może być sodu na +III stopniu utlenienia.
  • rozwiązywanie takich równań to tak naprawdę metoda prób i błędów, więc po prostu wstawiam liczby za jedną z niewiadomych  x, y, z (najlepiej tą, przy której stoi najwyższa liczba) i dopasowuję kolejne dwie niewiadome. Więc w tym równaniu, które teraz mieliśmy 24x + 2y = 13z  , to wstawiam sobie za x = 1 i widzę, że wtedy z \neq 1 , więc gdy z = 2 i wtedy idealnie pasuje y = 1 . Ja Wam nie jestem w stanie podać uniwersalnego algorytmu, na każdym przykładzie to będzie wyglądać inaczej. 
  • dla zainteresowanych matematyką – te równania nazywają się diofantycznymi – Wikipedia – równania diofantyczne  i my zajmujemy się banalnymi przypadkami tak naprawdę (co wynika z chemicznych zależności) więc naprawdę nie jest to takie złe w porównaniu do tego co zobaczycie w linku 🙂 .

No dobrze otrzymaliśmy tzw. wzór empiryczny naszego kwasu X : (C_{1}H_{1}O_{2})_{n} . Czemu to jest wszystko razy n ? Bo zobaczcie, że cokolwiek za tą wartość n nie wstawicie to zawartość procentowa tlenu będzie się zgadzać. Tak samo jak zapisujemy wynik w matematyce jako \frac{1}{2} ale równie dobrze moglibyśmy zapisać \frac{2}{4} , \frac{3}{6} itd. (i to trafne akurat porównanie, bo tak samo jak w matmie, zapisujemy wynik zawsze w postaci najbardziej skróconej – można sobie własnie tak zdefiniować wzór empiryczny).

Teraz dopiero skorzystam z informacji, że ten związek to kwas karboksylowy, zatem na pewno zawiera w sobie grupę -COOH . Ale jak popatrzmy na wzór, który otrzymaliśmy, to okazuje się, że w tym związku to mogłaby istnieć tylko taka grupa COOH, bo już nie ma innych atomów. Czyli dla n = 1 związek w ogóle nie istnieje. Czyli n \neq 1

Dla n = 2 mamy C_{2}H_{2}O_{4} co tak naprawdę daje nam dwie grupy karboksylowe : (COOH)_{2} czyli kwas szczawiowy : HOOC-COOH

Sprawdźmy n = 3 \implies C_{3}H_{3}O_{6} . Co można by tu z tego wzoru ułożyć?

  1. Nie może być po prostu 3 grup -COOH coś takiego nie istnieje.
  2. Spróbujmy dwie grupy -COOH też bez sensu, bo ta reszta, która zostanie to i tak jest grupa kwasowa, więc jest to przypadek taki sam jak wyżej.
  3. Czyli ewentualnie jedna grupa -COOH i zostaje reszta C_{2}H_{2}O_{4} . Z tej reszty nie da się ułożyć niczego sensownego, ani na pewno trwałego. Popróbujcie sami.

Więc zostaje kwas szczawiowy. Lecimy dalej, zapiszmy sobie reakcję estryfikacji, pamiętając, że alkohol Y ma tylko jedną grupę wodorotlenową :

HOOC-COOH + 2ROH \leftrightarrow ROOC-COOR + 2H_{2}O

Liczba moli naszego kwasu szczawiowego (związek X) : n_{X} = \frac{20}{90} = \frac{2}{9} \ mol . Z zapisu reakcji wynika, że liczba moli kwasu = liczba moli estru (związek Z) , czyli n_{X} = n_{Z}

Liczba moli związku Z może być obliczona również na podstawie liczby gramów związku Z, które powstało w tej reakcji, z tym że musimy jeszcze uważać na wydajność reakcji. Wiemy, że wydajność reakcji (oznaczymy ją sobie jako : w ) wynosi ponad 80%. W takim razie wydajność zawiera się w granicach od 80% do 100%. Wystarczy, że rozpatrzymy sobie w takim razie te graniczne wartości :

  1. dla w = 100\% mamy : n_{Z} = \frac{27}{M_{Z}}
  2. dla w = 80\% mamy : n_{Z} = \frac{27}{0,8 \cdot M_{Z}} = \frac{33,75}{M_{Z}}

*teraz podpunkt 1. będzie oznaczał obliczenia dla w = 100\%  i analogicznie podpunkt 2. dla w = 80\%

Pamiętamy, że liczba moli kwasu = liczba moli estru zatem :

  1. n_{X} = n_{Z} \implies \frac{2}{9} = \frac{27}{M_{Z}} \implies M_{Z} = 121,5
  2. n_{X} = n_{Z} \implies \frac{2}{9} = \frac{33,75}{M_{Z}} \implies M_{Z} = 151,88

Czyli tak naprawdę wyznaczyliśmy możliwy zakres w jakim musi się zmieścić masa tego estru : M_{Z} \in (121,5 ; 151,88) . Dla tych, co taki zapis się nie podoba :

  1. M_{Z} = 121,5 \implies najniższa możliwa masa molowa estru Z
  2. M_{Z} = 151,88 \implies najwyższa możliwa masa molowa estru Z

Ja wiem, że w cząsteczce estru jest fragment pochodzący z kwasu szczawiowego : -OOC-COO- , który waży 88 \frac{g}{mol} . Oprócz tego są tam dwie reszty od alkoholu Y, które oznaczyliśmy jako -R . Dla ścisłości, myślnik oznacza wiązanie, bo jest to reszta, a nie cały związek.

M_{Z} = 2M_{R} + 88

Czyli masa związku (estru) Z równa się masa dwóch reszt od alkoholu plus masa fragmentu pochodzącego od kwasu szczawiowego.

Ponownie rozpatrujemy dwie wydajności :

  1. 121,5 = 2M_{R} + 88 \implies M_{R} = 16,75
  2. 151,88 = 2M_{R} + 88 \implies M_{R} = 31,94

Ponownie, wyznaczyliśmy zakres masy fragmentu R (czemu ja ciągle wyznaczam zakres? Ponieważ w zadaniu jest powiedziane, że wydajność wynosi ponad 80%. Czyli w zadaniu nie dali mi konkretnej danej, liczby, tylko właśnie zakres, stąd ja sam jestem zmuszony liczyć na zakresach). Czyli M_{R} \in (16,75 ; 31,94) lub inny zapis :

  1. M_{R} = 16,75 \implies najniższa możliwa masa fragmentu R, pochodzącego od alkoholu Y.
  2. M_{R} = 31,94 \implies największa możliwa masa fragmentu R, pochodzącego od alkoholu Y.

Można już to zrobić zwykłą metodą prób i błędów, pomijając jakąkolwiek matematykę (czyli sprawdzam po kolei resztę : metylową, etylową, propylową itd) :

  • jeśli R = CH_{3} to M_{R} = 15 < 16,75 , czyli masa jest za mała
  • jeśli R = C_{2}H_{5} to M_{R} = 29 i widzimy 16,75 < 29 < 31,94   , czyli masa zawiera się w wyznaczonym przez nas przedziale – jest ok.
  • jeśli R = C_{3}H_{7} to M_{R} = 43 >31,94 , czyli masa jest za duża

Nie ma sensy sprawdzać kolejnych podstawników, bo skoro dla 3-węglowego się nie zgadza, to i dla wyższych nie będzie się zgadzać. Wyznaczyliśmy zatem resztę R jako grupę etylową, czyli alkohol Y = C_{2}H_{5}OH

Jeśli ktoś to chciał zrobić ładniej, to po otrzymaniu przedziału na masę molową fragmentu R, można rozbić ten fragment na : R = C_{p}H_{q}

  1. 16,75 = 12p + q \implies widać, że p \neq 1 bo wtedy q > 4 a to niemożliwa sytuacja, bo mielibyśmy w podstawniku jeden węgiel i więcej niż cztery wodory. Wyeliminowaliśmy zatem grupę metylową.
  2. 31,94 = 12p + q \implies widać, że p \neq 3 bo wtedy q < 0 co jest oczywiście niemożliwe (nie może być ujemna liczba atomów wodoru).

Pamiętając, że p, q \in C_{+} widzimy, że p = 2 jako jedyna opcja. Oczywiście w tych podpunktach powyżej to z każdego z nich wynika zależność, że p \neq 1 oraz p \neq 3 \implies 1 < p < 3 \implies p =2  .

Ostatecznie :

związek X = HOOC-COOH

związek Y = C_{2}H_{5}OH

związek Z = (COOC_{2}H_{5})_{2}


Pytanie dla Was – czy wyliczona przez nas reszta R z tego alkoholu to mogłaby być grupa etylenowa czyli -CH=CH_{2} ?


Jeszcze tylko obliczymy rzeczywistą wydajność tej reakcji :

n_{X} = \frac{2}{9} oraz n_{Z} = \frac{27}{146} \approx 0,185

Ze stechiometrii reakcji wynika, że z 1 mola X powinno powstać 1 mol Z. Czyli z  \frac {2}{9} mola X powinno powstać \frac {2}{9} \approx 0,222 mola Z , ale powstało w rzeczywistości (witaj prawdziwy świecie) 0,185 mola. Czyli wydajność wynosi :

w = \frac{tyle \ co \ powstalo }{tyle \ co \ powinno \ powstac} = \frac{0,185}{0,222} \approx 0,833 = 83,3 \%

Na zakończenie : zerknijcie teraz na rozwiązanie proponowane oficjalnie : 58. edycja – I etap – zadanie 4 . Jak Wam się to podoba?

  • wzór empiryczny obliczony fajnie, trzeba przyznać, ja to zrobiłem właściwie tak samo, tylko z bardziej formalnym zapisem i jedną drobną różnicą – nie musiałem sobie zakładać, że są dwa atomy tlenu, tylko to wyszło samo z siebie (oni od razu robią metodę prób i błędów, po prostu nie wprowadzają niewiadomych x, y, z , które ja wprowadziłem. Ale też nie zawsze jest taki łatwy przypadek, że tak od razu widać. Nie zawsze będziecie wiedzieć, że jest to kwas czy cokolwiek innego, czasem będzie to prostu ,,związek organiczny”. I jak wtedy sobie poradzicie?
  • oni dalej lecą metodą prób i błędów – reagują najpierw z metanolem, potem etanolem itd. Też spoko. Ja wyznaczyłem sobie zakres i od razu udowodniłem, że fragment musi być dwuwęglowy.
  • ja wiem, że Wam się prawdopodobnie bardziej będzie podobać wersja olchemowska (chociaż czasami bywa absurdalna, jak to wspominałem w tym przykładzie : Jak ośmieszyć zadanie olimpijskie – czyli obliczenia w akcji ) i mi to nie przeszkadza. Ja po prostu chcę Wam wytłumaczyć skomplikowaną metodę obliczeniową na łatwych przykładach. Tak naprawdę oni to zrobili w całości metodą prób i błędów, a tu staraliśmy się jakoś to formalnie zapisać, ot, cała różnica. Po prostu moja metoda będzie bardziej uniwersalna, a tamta może kiedyś Was zawieść. Jak się będziecie tego uczyć, zależy tylko od Was.

I cytat pasujący do dzisiejszego wpisu :

The mathematics is not there till we put it there. – Arthur Eddington

Jedna myśl w temacie “Chemia organiczna – zadanie obliczeniowe z 58. edycji”

  1. Z obliczeń wynika że mogłaby być to grupa winylowa ale z chemicznego punktu widzenia zaszłaby tautomeria i by nie było alkoholu. O co chodzi z tym słowem bezwodny przy kwasie w poleceniu, pierwsza myśl moja była taka że chodzi o bezwodnik ale w rozwiazaniu to nie ma sensu

Leave a Reply