Podstawy pochodnych do chemii fizycznej

Oczywiście siadając do tego wpisu (z zeszytem i długopisem w ręku – nie wiem czemu, ale tak jakoś to sobie wyobrażam 🙂 ) , musicie mieć podstawowe, licealne wiadomości na temat funkcji. Nie żadna tam matematyka rozszerzona, spokojnie.

UWAGA! Pochodne to nie jest temat, który Was obowiązuje na olimpiadzie, więc jak najbardziej możecie sobie to pominąć. Znajomość tego tematu doradzałbym natomiast osobom, które nie są w trzeciej klasie, a co za tym idzie mają jeszcze dużo czasu do nauki. 

---

Znajomość pochodnych i całek bardzo ułatwia życie i zrozumienie kinetyki. W tym roku kinetyka jest w folderze A i B, więc trochę jej na OlChemie będzie. Tłumaczę te pochodne na zupełnie podstawowym poziomie z ogromnym naciskiem na to, co jest potrzebne właśnie w kinetyce (ale głównie zobaczycie to dopiero w całkach, do których trzeba znać pochodne). Nie spodziewajcie się zatem pełnoprawnej, matematycznej lekcji, tylko bardziej wpisu pod kątem chemii olimpijskiej. Rozumiejąc pochodne (i całki) nie musicie uczyć się tzw. ,,scałkowanych postaci równań kinetycznych” tylko umiecie sami sobie to wyprowadzić, co oznacza, że macie mniej wzorów do zapamiętania, a więcej rozumiecie. A tak zawsze jest lepiej. Haczyk tkwi w tym, że trzeba trochę więcej czasu poświęcić, ale odpłaca się to lepszym (dłuższym) rozumieniem i pamiętaniem. Decyzja naprawdę należy do Ciebie. Jeśli jesteś w miarę dobry z matmy (a konkretnie: ,,nie jest tak, że jej nie lubisz”) i nie jesteś w 3. klasie (od tego też są wyjątki – głównie chodzi mi tu o przypadek trzecioklasisty, który dopiero zaczyna przygodę z OlChemem), to polecam otwierać zeszyt i zaczynać lekcje. Naprawdę nie jest to trudne, jeszcze niedawno tego się każdy uczył w liceum.

---

Ciekawostka : pochodne już się pojawiały na Olimpiadzie, był to jednak folder wstępny i finał. Nigdy nie było tego na I czy II etapie i na pewno musiałoby to zostać zasygnalizowane. Ale jako ciekawostkę wrzucam przykłady :

• folder wstępny 59.edycja – strona 26, podpunkt e. (co mnie skłoniło nawet do kupienia podręcznika do analizy matematycznej, bo byłem pewien, że trzeba to umieć) : FW – 59. edycja
• finał 56. edycji – strona 4, wskazówka – tu było o tyle śmiesznie, że w folderze wstępnym nie było całek/pochodnych a pojawiły się na finale : 56. edycja – finał

Jeszcze zanim zaczniemy – macie dwa wybory nauki, zróbcie tak jak Wam wygodnie.

1. Przeczytajcie wstęp, co to w ogóle te pochodne. Nauczcie się dosłownie kilku wzorów (będą to tylko dwa wzory [1] oraz [2]) oraz dwóch prościutkich zależności (ważna zależność [1] oraz [2]) ,poćwiczcie przykłady, które zamieszczę wraz z odpowiedziami. Nauczcie się całek (będzie kolejny wpis). Zaaplikujcie tą wiedzę do chemii fizycznej.
2. To samo, co wyżej, ale dodatkowo popatrzcie na pełne wytłumaczenie, skąd się biorą te wzory. Oczywiście nie tłumaczę ich wszystkich, bo to nie o to chodzi. Jeśli ktoś chce się zagłębić i to dokładnie poznać – to polecam wypożyczyć dowolną książkę i się nauczyć. Ja to chcę zrobić dla Was możliwie jak najmniej boleśnie, umiejętnie balansując pomiędzy natłokiem nowych pojęć, a rzeczami do zapamiętania.

---

Pochodna to po prostu nachylenie (o dokładnej różnicy powiem później). Tak to najłatwiej zapamiętać.

Chyba większość z nas wie, co to jest nachylenie jakiejś funkcji, za przykład wieźmy sobie funkcję \(y = x \) lub jeśli ktoś woli taki zapis : \(f(x) = x \)

\(nachylenie = \frac{\Delta y}{\Delta x} \)

My sobie policzymy średnie nachylenie między dwoma punktami na wykresie : A oraz B. I teraz :

• \(\Delta x \implies \) to zmiana wartości \(x \) np. z dwóch punktów na wykresie : \(x_{A} = 5 \) oraz \(x_{B} = 7 \) , czyli \(\Delta x = x_{B} – x_{A} \)
• \(\Delta y \implies \) to zmiana wartości \(y \) np. z dwóch punktów na wykresie : \(y_{A} = 5 \) oraz \(y_{B} = 7 \) , czyli \(\Delta y = y_{B} – y_{A} \)

W takim razie, nasze nachylenie wyniesie :

\(nachylenie = \frac{7 – 5}{7 – 5} = 1 \)

Wszystko fajnie. Ale co jeżeli chciałbym znaleźć nachylenie w danym punkcie funkcji, a nie jej wycinku, tak jak zrobiliśmy to teraz?

Przecież w danym punkcie \(\Delta x = \Delta y = 0 \)

I teraz do akcji wkraczają pochodne – używamy wtedy tak malutkich zmian \(\Delta x \) oraz \(\Delta y \) , że możemy to obliczyć. Są to tak małe zmiany, że \(\Delta x \to 0 \), tak samo \(\Delta y \to 0 \) , czyli zmiana x oraz y dąży do zera, ale jeszcze nim nie jest (nie dziel przez zero cholero – w nachyleniu przecież dzielę przez \(\Delta x \)).

Możemy sobie wyobrazić, że bierzemy jakąś lupę i ta kropka na wykresie staje się już całkiem duża i możemy sobie znów wyznaczyć dwa punkty, które są baaardzo blisko siebie. I takie powiększenia robimy w nieskończoność, a zatem zmiana x oraz zmiana y są też nieskończenie małe, ale jeszcze nie są zerem.

Aby położyć nacisk na fakt, że \(\Delta x \) oraz \(\Delta y\) są nieskończenie małe i dążą do zera, wprowadza się zapis \(dx\) oraz \(dy \). Literka ,,d” oznacza z ang. derivative czyli właśnie pochodną. Zatem, możesz sobie zapamiętać, że jak w podręcznikach zobaczysz wyrażenie np.  \(dx\) to oznacza bardzo malutką zmianę wartości \(x\) . Będę zamiennie to stosował, żeby Was oswoić z tym zapisem. Ale dla ułatwienia, na naszym poziomie jakim to potrzebujemy znać, możecie sobie postawić tu znak równości : \(d = \Delta \) . I dla podsumowania :

• \(dx \) to bardzo mała zmiana wartości \(x \)
• \(dy \) to bardzo mała zmiana wartości \(y \)
• spotkacie się jeszcze ze słowem różniczka – to zdrobnienie od różnicy (bo to jest tak mała różnica między dwoma punktami).

No dobrze, to wracamy do liczenia nachylenia wykresu w najmniejszych punkciku (cały czas zajmujemy się funkcją \(y = x\) ) :

\(nachylenie = \frac{zmiana \ y}{zmiana \ x} = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{dy}{dx} \)

Tutaj powiększenie naszego wykresu (przez ,,lupę”)

Zobaczmy, że :

• wartość \(x\) zmienia się od : \(x\) do \((x + \Delta x ) \) , czyli sama zmiana to \(\Delta x = dx \) . Czyli dla wyobrażenia wstawmy sobie przykładowe liczby :
  • w skali makro to by była zmiana powiedzmy od \(x = 5 \) do \(x = 7 \)
  • a w skali mikro (tu wkraczają pochodne) to by mogła być zmiana np. \(x = 5\) do \(5,00000000000001 \). Wtedy zapis : \((x + \Delta x) \) oznacza po prostu \((5 + 0,00000000000001) \)
• wartość \(y\) zmienia się od : \(y\) do \((y + \Delta y ) \) , czyli sama zmiana to po prostu różnica między dwoma punktami : \(\Delta y = (y + \Delta y) – y \) \(\implies dy = (y + dy) – y \)
  • Teraz to wyrażenie przekształcimy sobie adekwatnie do wzoru naszej funkcji. Nasza funkcja to \(y = x \) lub też \(f(x) = x \), czyli jeśli u nas powiedzmy \(x = 5 \) to \(y = 5 \) lub \(f(5) = 5 \), więc w takim razie wartość \(\Delta y = dy = (y+dy) – y = (x + dx) – x \) . Wyprowadzam właśnie to, bo przecież tego wyrażenia potrzebuję, by wstawić do nachylenia.
  • Jeszcze raz to samo, co wyżej, bo to najgorsza część :
    • \(\Delta y \) to różnica pomiędzy jednym a drugim punktem na osi y. Zatem \(\Delta y = (y + \Delta y) – y \)
    • Patrzę jaki jest wzór funkcji (ja ostatecznie chcę mieć same iksy) : \(y = x \) czyli skoro :  \(\Delta y = (y + \Delta y) – y \) to znaczy, że :\(\Delta y = (y + \Delta y) – y = (x + \Delta x) – x \)

Wrzucamy te wartości do naszego wzoru na nachylenie (najpierw zapis na deltach, potem na dx, żebyście się oswoili z zapisami):

\(nachylenie = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{(x + \Delta x) – x}{\Delta x} = \frac{\Delta x}{\Delta x} = 1 \)

\(nachylenie = \frac{dy}{dx} = \frac{(x+dx) – x}{dx} = \frac{dx}{dx} = 1 \)

Wynik nam się zgadza z tym co uzyskaliśmy wcześniej.

Weźmy sobie trudniejszą funkcję :

\(y = 3x^{2} \) lub alernatywny zapis \(f(x) = 3x^{2} \)

Zobaczcie sami, że jak byśmy narysowali sobie wykres tej funkcji i brali dowolne punkty, to wartość y zmienia się o różne wartości jeśli będzie brali różne punkty na osi x. I tu jest problem, bo to nachylenie ciągle będzie inne – w przeciwieństwie do naszego poprzedniego przykładu.

Wracamy do naszej funkcji. Będę teraz używał oznaczeń :

1.  \(f(x) \) oraz \(\Delta x \)   (czyli tożsamych z \(y\) oraz \(dx \) )

Czyli widzimy po lewej stronie orientacyjny wygląd naszej funkcji, a po prawej stronie narysowałem w powiększeniu punkt zaznaczony żółtą kropką. Po prawej zaznaczyłem również alternatywne oznaczenia, pamiętajmy że \(y = f(x) \) oraz \((y+\Delta y) = ( f(x) + f(x+\Delta x) ) \) . Ponadto w prawej stronie wykresu zaznaczyłem styczną do wykresu, stąd ta prosta linia się wzięła (geometryczna interpretacja to nie jest akurat rzecz, która nas bardzo interesuje – ale powiedzmy sobie od razu, na czym polega różnica między pochodną a nachyleniem. Nachylenie będzie istniało dla funkcji liniowej, ale dla funkcji nieliniowej, czyli np. kwadratowej, już nie da się wyznaczyć nachylenia – da się za to dorysować styczną do fragmentu tej funkcji i z tego obliczyć nachylenie – i to jest właśnie liczenie pochodnej = liczenie nachylenia stycznej do fragmentu danej funkcji. Także różnica na pierwszy rzut oka dosyć subtelna).

Jak widzimy, wartość \(x \) zmienia się od wartości \(x \) do wartości \((x +  \Delta x) \), a sama zmiana wynosi \(\Delta x \)

Tak samo, wartość \(f(x) \) zmienia się od wartości \(f(x) \) do wartości \(f(x + \Delta x ) \), a sama zmiana wynosi \(\Delta f(x) \)

Czyli \(nachylenie = \frac{\Delta f(x)}{\Delta x} \)

Moja funkcja to \(f(x) = 3x^{2} \). Więc w punkcie \((x + \Delta x) \) wartość tej funkcji wynosi : \(f(x + \Delta x) = 3(x + \Delta x)^{2} = 3(x^{2} + 2x \Delta x + (\Delta x)^{2}) = 3x^{2} + 6x \Delta x + 3(\Delta x)^{2} \)

Wyżej normalne wzory skróconego mnożenia. Nic strasznego się nie dzieje. Kwestia zaznajomienia się z zapisem, którego zbyt często się nie używa. Dlatego włóżmy tu analogiczny przykład, na liczbach

*weźmy tą samą funkcję \(f(x) = 3x^{2} \). W punkcie \(x = 5 \implies f(5) = 3\cdot 5^{2} = 75 \) natomiast w punkcie oddalonym o plus dwa będzie to : \(x = 5 + 2 \implies f(5+2) = 3(5+2)^{2} \) . Widzimy już, o co chodzi?

Wstawiamy do nachylenia :

\(nachylenie = \frac{\Delta f(x)}{\Delta x} = \frac{3x^{2} + 6x \Delta x + 3(\Delta x)^{2} – 3x^{2}}{\Delta x} \)

Skraca się wyrażenie \(3x^{2} \)

\(nachylenie = \frac{6x \Delta x + 3 (\Delta x)^{2}}{\Delta x} \)

Skracamy \(\Delta x \) w liczniku i mianowniku :

\(nachylenie = 6x +3 \Delta x \)

A przecież pamiętamy, że \(\Delta x \to 0 \implies 3 \Delta x \approx 0 \)

I ostatecznie \(nachylenie = 6x \)  czyli tak naprawdę pochodna tej funkcji wynosi \(6x \)

Co oznaczają te różne zapisy :

Mieliśmy funkcję : \(f(x) = 3x^{2} \) Pochodna wyszła nam \(6x \). Jak to zapisać? Są różne sposoby :

• \(\frac{d}{dx} 3x^{2} \ lub \ \frac{d(3x^{2})}{dx} =\frac{d \ 3x^{2}}{dx} = 6x \) => i teraz popatrzcie jeszcze raz na wykres funkcji i teraz zrozumiemy tak naprawdę, o co chodzi z tą pochodną. Zobaczcie, jaka jest zmiana wartości na osi y, gdy x zmienia się od 0 do 1, a jaka jest zmiana wartości y gdy robię zmianę x z 1 na 2. Jest różna.
  • gdy \(x = 1 \implies y = f(x) = 3x^{2} = 3 \)
  • gdy \(x = 2 \implies y = f(x) = 3x^{2} = 12 \)
  • gdy \(x = 3 \implies y = f(x) = 3x^{2} = 27 \)
  • Pochodna zatem mówi nam, jak szybko zmienia się wartość y przy zmianie x. Wyobraźcie sobie Usaina Bolta, który biegnie na 100m. On będzie miał inną prędkość na pierwszych 10m, a inną na finiszu. Jak obliczymy sobie pochodną, to wtedy będziemy mogli obliczyć jego szybkość w każdym punkcie, po prostu wstawiając sobie za x dowolną odległość na której aktualnie Bolt się znajduje.
    • Zajmijmy się tym Boltem jeszcze dokładniej – bo dzięki tej analogii, zobaczycie że pochodne są naprawdę wszędzie! Rekord świata w biegu na 100 m wynosi 9,58 sekund. Czyli jak ktoś nam zadania pytanie – to z jaką prędkością on biegł? To ja mogę obliczyć tylko jego średnią prędkość, korzystając ze wzoru \(v = \frac{s}{t} = \frac{100}{9,58} \approx 10,44 \frac{m}{s} \). Czyli ja tak naprawdę obliczyłem nachylenie od punktu zerowego czyli startu (czyli czas = 0 sek, droga = 0 metrów) do mety (czyli czas = 9,58 sek, droga = 100m). Ale o wiele fajnie byłoby obliczyć tą prędkość w każdym momencie, bo przecież gdy minęło 0,01 sekundy biegu, to Bolt jeszcze jest w blokach i ma prędkość właściwie równą zero, a w którymś momencie biegu osiągnął 44,72 km/h! Więc odpowiadając że Bolt biegł z prędkością \(v = 10,44 \frac{m}{s} = 37,6 \frac{km}{h} \) to tak jakbyśmy na pytanie : ile to 2+2 mówili, że to coś pomiędzy 3 a 5. Niezbyt dokładna odpowiedź. Pochodna pozwala na poznanie dokładnej odpowiedzi – ot, cała esencja ,,po co to właściwie jest”. 
• \(f'(x) = 6x \) , czyli takie ,,f” z apostrofem.
• Chyba najprościej : \((3x^{2})’ = 6x \)

Zobaczmy teraz na kolejnych przykładach :

• Jeśli będziemy mieć funkcję \(y = f(x) = 2 \) , to mamy pomysł ile będzie wynosić pochodna? Jak sobie narysujecie wykres tej funkcji, to zobaczycie że wartość \(y \) ciągle wynosi 2, niezależnie od zmiany \(x \). Zatem szybkość zmiany wartości \(y \) od wartości \(x \) wynosi 0 (czyli pochodna = 0), bo ,,y” i tak się nie zmienia.
• Wracając do zwykłej funkcji liniowej, którą przerabialiśmy na początku : \(y = x \). Widzimy, że jest to linia prosta, wartość \(y \) zmienia się ciągle o tą samą wartość, nachylenie nam wyszło 1.

Jakie pochodne należy znać w kontekście chemii fizycznej :

1. funkcja \(f(x) = x^{a} \) czyli \(x \) do potęgi \(a \) .
2. funkcja \(f(x) = e^{ax} \) czyli podstawa logarytmu naturalnego podniesiona do potęgi : niewiadoma \(x \) razy jakaś liczba \(a \).

Pochodne tych funkcji wyniosą odpowiednio :

1. \(f(x) = x^{a} \implies f'(x) = ax^{(a-1)} \) lub inny zapis : \(\frac{dx^{a}}{dx} = ax^{a-1} \)   \(\implies \) to jest ważny wzór [1] – który zresztą umiecie sami już wyprowadzić.
2. \(f(x) = e^{ax} \implies f'(x) = ae^{a} \) lub inny zapis : \(\frac{de^{ax}}{dx} = ae^{a} \)

I na żywych przykładach :

1.  \(f(x) = x^{4} \implies f'(x) = 4x^{3} \) lub inny zapis : \(\frac{dx^{4}}{dx} = 4x^{3} \)
2. \(f(x) = e^{3x} \implies f'(x) = 3e^{3} \) lub inny zapis \(\frac{de^{3x}}{dx} = 3e^{3} \)

Inne jeszcze przykłady wzorów :

• \(f(x) = ln \ x \implies f'(x) = \frac{1}{x} \)
• \(f(x) = a \implies f'(x) = 0 \)     ; \(a \) to jakaś liczba np. 6 \(\implies \) to jest ważny wzór [2].

I jeszcze jedna ważna kwestia :

• Co jeżeli we wzorze funkcji mam dodawanie, odejmowanie? Wtedy korzystamy z własności różniczkowania :
  • Dodawanie – po prostu każdy człon robię osobno : np. \(f(x) = 3x + 5 \implies \) \(f’ (x) = (3x)’ + (5)’ = 3 + 0 = 3 \) \(\implies \) ważna zależność [1]
  • Odejmowanie – tak samo, każdy człon osobno : np. \(f(x) = x^{2} – 4x \implies f’ (x) = (x^{2})’ – (4x)’ = 2x – 4 \)  \(\implies \) ważna zależność [2]

Przećwicz sam (tylko wzory [1] oraz [2] , na razie te są dla nas najważniejsze) :

1. \(y = x^{2} + 5x \)
2. \(y = x^{3} – 3x \)
3. \(y = 3x^{7} – 7x^{3} + 21x^{2} \)

Odpowiedzi :

1. \(y’ = 2x + 5 \)
2. \(y’ = 3x^{2} – 3 \)
3. \(y’ = 21x^{6} + 21x^{2} + 42x \)

---

Pochodne tak naprawdę są nam potrzebne do całek i wtedy zobaczymy sobie, gdzie to użyć w chemii fizycznej. Ale już widzimy potencjalne zastosowanie – weźmy sobie jakąś reakcję :

\(H_{2} + \frac{1}{2} O_{2} \rightarrow H_{2}O \)

Szybkość tworzenia wody \(v \) będzie wynosić :

\(v = \frac{d[H_{2}O]}{dt} \)

Mam nadzieję, że teraz taki zapis nie budzi już strachu – rozumiemy że jest to malutka zmiana stężenia wody w malutkiej zmianie czasu. Inaczej mówiąc – jest o chwilowa szybkość tworzenia tej wody, w danym punkcie wykresu. I tyle.

Pytanie brzmi czy poniższy zapis na szybkość tworzenia wody będzie oznaczał to samo ?

\(v = \frac{\Delta [H_{2}O]}{\Delta t} \)

Otóż nie do końca. Zapis ten będzie oznaczał średnią szybkość tworzenia wody, zatem jest to zapis mniej dokładny. Bo szybkość jest wartością ruchomą – w miarę zużywania się produktów szybkość będzie zbliżać się do zera. Zatem pierwszy zapis jest bardziej dokładny, a drugi przybliżony – przyrównajcie sobie tutaj analogię do biegu Bolta.

I na tym skończymy sobie pochodne – czas nauczyć się całek. I to w następnym wpisie najbardziej poćwiczymy sobie to na przykładach chemicznych i w pełnej krasie zobaczymy jak to może się dla nas przydać.

Podsumowanie :

• znasz podstawową definicję pochodnej oraz sposób (sposoby) jej zapisu
• znasz wzór [1] oraz wzór [2]
• znasz zależność [1] oraz zależność [2] (trudne to nie jest, co?)
• i ewentualnie umiesz samemu wyprowadzić wzór [1]
• nie boisz się (no dobra, na razie jeszcze trochę się boisz, ale poćwiczysz i to minie 🙂 ) już zapisów jakie napotkasz w książkach typu :
  • \(\frac {d[produkt]}{dt} = v \)    , bo wiesz, że oznacza to po prostu zmianę stężenia produktu w zmianie czasu, a konkretnie w danym punkcie tego wykresu, który przedstawia zmianę właśnie stężenia produktu w czasie (bierzemy dwa punkty oddalone od siebie o nieskończenie małą odległość, ponieważ jest to wtedy najdokładniejsze sposób liczenia nachylenia).

Spokojnie – następna część tego wpisu, o całkach, pokryje jeszcze raz te pochodne, więc ciągle będziemy to sobie ćwiczyć w stopniu minimalnie matematycznym, a maksymalnie chemicznym. 

“You can’t teach calculus to a chimpanzee. So just share your banana.” ― John Rachel, Blinders Keepers