MATEMATYKA NA OLIMPIADZIE CHEMICZNEJ – RÓWNANIA KWADRATOWE
Równania kwadratowe (czy też funkcja kwadratowa) to coś, z czym stykamy się na Olimpiadzie bardzo często, lecz w odróżnieniu od chociażby matury z matematyki na poziomie podstawowym, gdzie rozwiązanie takiego równania jest celem samym w sobie, tutaj będzie to dla nas jedynie narzędzie, kolejny mały krok do rozwiązania całego zadania. Przy okazji budowania matematycznych fundamentów, warto zerknąć także tutaj : Matematyka na Olimpiadzie Chemicznej – logarytmy
Równań kwadratowych nie ma się co obawiać, wytłumaczenie ich na poziomie nam potrzebnym to kwestia pięciu minut, jednak jest jedno ,,ale”. Musisz koniecznie posiadać kalkulator naukowy, który będzie posiadał funkcję rozwiązywania tego typu równań (i przy okazji równań 3-go stopnia). Dlaczego?
- Przede wszystkim chodzi o czas, który na (przede wszystkim II etapie) jest bezcenny. Nikt tutaj nie punktuje Waszej znajomości wzorów na deltę czy na \(\displaystyle x_{1} \) oraz \(x_{2} \) , więc nie ma potrzeby pisania tego w czystopisie, a dzięki użyciu kalkulatora, także w brudnopisie. Dla wprawionych osób rozwiązanie takiego równania to kwestia mniej niż dziesięciu sekund.
- Po drugie, równie istotne, eliminujemy tym sposobem ryzyko błędu. Należy zauważyć, że pojawiające się na OlChemie równania kwadratowe nie mają takiej ładnej postaci jak na szkolnych zajęciach z matematyki. Zatem prędzej zobaczymy równanie typu : x2 + 10-4,8 x – 0,4 = 0 zamiast 3x2 – 7x + 4 = 0 , a operowanie na tego typu liczbach już podnosi ryzyko błędu. A błędy matematyczne na II etapie OlChemu to rzecz niedopuszczalna – pamiętajmy bowiem, że następne podpunkty często opierają się na wyniku z poprzednich podpunktów, a więc taki błąd potrafi ciągnąć się przez całe zadanie.
Inwestycja w odpowiedni kalkulator to kwestia niepodlegająca żadnej dyskusji. Na szczęście jest to zakup niedrogi i jednorazowy, ja swój kalkulator używam już właściwie dziesiąty rok i ani razu nawet nie wymieniałem baterii, co notabene jest chyba obawą każdej osoby tuż przed i w trakcie zawodów. Jeśli ktoś jest zainteresowany to mój model to Daymon RS-577, chociaż jest on faktycznie stary i niezbyt łatwo dostępny, dlatego zawodnikom polecam Vector CS-105, który łatwo można nabyć w empiku.
Zaletą tych kalkulatorów jest to, że są po prostu tanie – moim zdaniem to one powinny być rozdawane na finałach, ponieważ wówczas rozwiązywanie równań 2-go i 3-go stopnia nie byłoby problemem. Nie musicie też inwestować w drogie kalkulatory graficzne, wystarczy taki podstawowy. Jakikolwiek sobie nie wybierzecie, pamiętajcie o tym, aby potrafiły liczyć Wam równania kwadratowe!
Przechodzimy do sedna.
Równanie kwadratowe (inaczej równanie drugiego stopnia) to takie, w którym pojawi się dowolna niewiadoma, podniesiona do drugiej potęgi. Najprostszym równaniem kwadratowym mogłoby być :
\(\displaystyle x^{2} = 4 \)
Patrząc na to, większość osób wykrzykuje szybko odpowiedź \(\displaystyle x = 2 \) , dziwiąc się o co tyle hałasu z tymi równaniami kwadratowymi, skoro jest to takie proste. Otóż w tym przypadku taka odpowiedź dałaby tylko połowę punktów, przecież istnieje jeszcze inne, poprawne rozwiązanie \(\displaystyle x = – 2 \) .
Ze względu na to, że równania kwadratowe mogą nam (ale nie muszą) przynieść dwa różne rozwiązania, to oznaczamy je np. za pomocą \(\displaystyle x_{1} = 2 \) oraz \(x_{2} = -2 \) .
Jak to możliwe, że są dwa wyniki? Skąd wiadomo, które rozwiązanie jest poprawne na Olimpiadzie? Tym z reguły nie trzeba się martwić, ponieważ zdecydowana większość równań tego typu daje jedno rozwiązanie dodatnie, a drugie ujemne, a liczby te dotyczą np. liczby moli czy stężenia, które nie mogą być ujemne, dlatego taki wynik odrzuca się jako niemający sensu fizycznego (i dobrym zwyczajem jest zapisanie takiego krótkiego zdania przy takim wyniku!). Nie jest to jednak wymagane, co widać chociażby w oficjalnych rozwiązaniach :
Nie zawsze jest tak łatwo. Typowo w zadaniach dotyczących równowagi chemicznej przy reakcji estryfikacji wychodzą dwa dodatnie wyniki, co lubi się także pojawiać na maturze. Wtedy należy odrobina więcej wysiłku, aby wyeliminować jeden z wyników. Spójrzmy na : 62 edycję, FW, zadanie 1B :
Ustalamy tam, że w stanie równowagi liczba moli jednego z substratów wyniesie \(\displaystyle 0,5 – x \) i z równania kwadratowego wyliczamy dwie możliwe wartości :
\(\displaystyle x_{1} = 1,1 \ \ \ \) oraz \(\displaystyle \ \ \ x_{2} = 0,36 \)
Okazuje się, że tylko druga opcja jest prawidłowa, ponieważ \(0,5 – 1,1 = -0,6 \ <0 \) , gdyby użyć pierwszej wartości to liczba moli tego substratu byłaby ujemna, co nie ma sensu fizycznego.
W bardzo ciekawy sposób zostało to rozwiązane na jednym z drugich etapów : 54 edycja, II etap – Zadanie 4 : podpunkt a3) . Gorąco zachęcam do przeanalizowania tego podpunktu.
Do tej pory równania kwadratowe mogą się Tobie wydawać proste, wystarczy tylko pamiętać o tym, że mogą być dwa rozwiązania, jednak obecność dodatkowej literki iks mocno komplikuje sprawę. Spróbuj rozwiązać to równanie :
\(\displaystyle 4x^{2} – 7x = 5 \)
Jest duża szansa, że nie potrafisz tego zrobić i nie ma się co dziwić. Dlatego najpierw pokażę (czysto pod kątem praktycznym – olchemowskim) jak do tego podejść.
Generalnie, chcielibyśmy aby wszystkie niewiadome oraz liczby mieć po jednej stronie równania, tak żeby po drugiej stronie zostało nam samo zero.
\(\displaystyle 4x^{2} – 7x – 5 = 0 \)
W rzeczywistości dążymy do zapisu, który nazywa się postacią ogólną równania kwadratowego, co wygląda następująco :
\(\displaystyle ax^{2} + bx + c = 0 \)
Iks to nasza niewiadoma, którą chcemy obliczyć, może to być liczba moli, stężenie, ciśnienie i cokolwiek innego. Dla nas kluczowa jest umiejętność przekształcenia dowolnego równania, w którym pojawi się \(\displaystyle x^{2} \) właśnie do takiej postaci, a wszystko po to, aby ustalić ile wynoszą parametry \(\displaystyle a \ , b \ , \ c \) , bo to właśnie je będziemy potem wrzucać do kalkulatora. W naszym równaniu parametry te wynoszą
- \(\displaystyle a = 4 \)
- \(\displaystyle b = -7 \)
- \(\displaystyle c = -5 \)
Typowy błąd to zapominanie o minusach przy wartościach parametrów \(\displaystyle a \ , b \ , \ c \) , zatem uważajcie na to!
W szkole, na matematyce będziecie dalej uczyli się na pamięć sławnego wzoru na deltę oraz na dwa możliwe rozwiązania (czyli wspomniane wcześniej \(\displaystyle x_{1} \) oraz \(x_{2} \) . Łącznie zatem są do zapamiętania trzy wzory :
\(\displaystyle \Delta = b^{2} – 4ac \)
\(\displaystyle x_{1} = \frac{-b + \sqrt{ \Delta}}{2a} \) \(\displaystyle x_{2} = \frac{-b – \sqrt{ \Delta}}{2a} \)
Warto dodać, że ta sławna delta to tylko ,,skrót” , który rozbija dla Was rozwiązywanie równań kwadratowych na dwa etapy : najpierw policz deltę, a potem iksa. Oczywiście nic nie stoi na przeszkodzie, aby ustalić jeden wzór :
\(\displaystyle x_{1} = \frac{-b \pm \sqrt{ b^{2} – 4ac}}{2a} \)
Skąd się bierze wzór na deltę oraz powyższy wzór na obliczenie wartości niewiadomej iks? Wykracza to poza temat tego posta, który ma być typowo praktyczny pod Olimpiadę – można jednak odpowiedź znaleźć tutaj : (wikipedia) Funkcja_kwadratowa . Ja osobiście starałem się to wyprowadzić samemu na nieco nudniejszych lekcjach.
Jak widzicie, wzory te nie są ani przyjazne w zapamiętywaniu, ani wygodne w użyciu, zwłaszcza jeśli parametry będą liczbami w stylu : \(1,6 \cdot 10^{-5} \) , ale na szczęście nas w tym wszystkim wyręczy kalkulator.
Jeśli jednak dopiero zaczynasz przygodę z równaniami kwadratowymi to warto chociaż parę razy pomęczyć się z tymi wzorami (i tak będziesz ich używał namiętnie na matmie). Wróćmy do naszego równania :
\(\displaystyle 4x^{2} – 7x – 5 = 0 \)
- \(\displaystyle a = 4 \)
- \(\displaystyle b = -7 \)
- \(\displaystyle c = -5 \)
Podstawiamy do wzoru na deltę :
\(\displaystyle \Delta = b^{2} – 4ac = (-7)^{2} – 4 \cdot 4 \cdot (-5) \implies \Delta = 129 \)
Następnie wyliczamy \(\displaystyle x_{1} \) :
\(\displaystyle x_{1} = \frac{-b + \sqrt{ \Delta}}{2a} = \frac{-(-7) + \sqrt{129}}{2 \cdot 4} \implies x_{1} = 2,295\)
Analogicznie wyliczamy \(\displaystyle x_{2} \) :
\(\displaystyle x_{2} = \frac{-b – \sqrt{ \Delta}}{2a} = \frac{-(-7) – \sqrt{129}}{2 \cdot 4} \implies x_{1} = -0,545 \)
A teraz przechodzimy do bardziej istotnej rzeczy dla nas, a więc jak to zrobić na kalkulatorze! Przypomnijmy równanie :
\(\displaystyle 4x^{2} – 7x – 5 = 0 \)
Na naszym kalkulatorze szukamy przycisku MODE (prawy górny róg). Widok może się różnić w zależności od kalkulatora, natomiast należy klikać ten właśnie przycisk MODE, aż na ekranie pojawi nam się skrót EQN od angielskiego equation, czyli równanie. U mnie wygląda to następująco :
Po jednym wciśnięciu przycisku MODE :
Po drugim :
Po trzecim wreszcie ukazuje nam się upragnione EQN :
EQN znajduje się nad cyferką ,,1″ , zatem klikamy na kalkulatorze jedynkę (1). Ukaże nam się następujący ekran :
Już prawie dotarliśmy do końca, ale to jeszcze nie to! Unknowns oznacza niewiadome i jesteśmy teraz w menu układów równań z dwoma lub trzema niewiadomymi (tak, można tutaj też liczyć układy równań!). Teraz należy jeszcze raz wcisnąć przycisk MODE.
My chcemy obliczyć równanie drugiego stopnia, zatem wciskamy liczbę dwa (2). Wyskoczy nam pytanie o wartość parametru \(\displaystyle a \) .
W naszym przypadku a = -7 i to właśnie wpisujemy do kalkulatora. Można użyć znaku minus znajdującego się obok znaku plus, albo znaku minus w nawiasie (czarny przycisk), który znajduje się po lewym brzegu, nad przyciskiem RCL. Po wpisaniu wartości ,,minus siedem” wciskamy znak ,,równa się” i tak samo postępujemy z parametrami b oraz c. To wszystko – kalkulator pokazuje nam od razu wynik. Aby zobaczyć drugi wynik, należy kliknąć duży przycisk zaznaczony na poniższym obrazku. Przełączając góra/dół możemy na zmianę oglądać dwa wyniki.
I drugi wynik :
Mamy rozwiązanie i jak widać jest ono zgodne z tym, co obliczyliśmy wcześniej. Na pierwszy rzut oka proces może się wydawać zagmatwany, jednak gwarantuję, że po dwóch przykładach przeklikanych na kalkulatorze bardzo ciężko będzie Ci powrócić do smutnej, bezkalkulatorowej, szkolnej rzeczywistości.
Uwaga – bardzo ważna rzecz! Przy wpisywaniu parametrów a, b oraz c możecie wpisywać całe działania, nie trzeba tego wcześniej wyliczać i to kolejny przykład jak bardzo oszczędzamy czas na liczeniu tych równań. Zatem mając równanie np. :
\(\displaystyle 0,4x^{2} + 0,7 \cdot 10^{-4,8}x – (0,3 + 0,4) \cdot 10^{-2} = 0 \)
możemy wpisywać parametry a, b, c w formie działań, co wyglądałoby następująco :
Jest jeszcze jedna istotna rzecz, o której należy wiedzieć. Funkcja kwadratowa przybiera postać tak zwanej paraboli :
Ważną umiejętnością jest znajdowanie maksymalnej lub minimalnej wartości takiej funkcji (ładnie powiedzielibyśmy : ekstremum).
Dla funkcji kwadratowej : \(\displaystyle f(x) = ax^{2} + bx + c \) ekstremum to oblicza się ze wzoru :
\(x = \displaystyle \frac{-b}{2a} \)
W przypadku gdy :
- \(\displaystyle a > 0 \) to obliczymy minimum
- \(\displaystyle a < 0 \) to obliczymy maksimum
Przykładowo, dla funkcji opisanej wyrażeniem : \(\displaystyle f(x) = -2x^{2} + 4x – 5 \) możemy obliczyć maksimum funkcji (ponieważ a = – 2), które wynosi :
\(\displaystyle x = \frac{-4}{2 \cdot -2 } = 1 \)
\(\displaystyle f(1) = -2 \cdot (1)^{2} + 4 \cdot 1 – 5 = -3 \)
Zatem maksimum występuje w punkcie (1, – 3).
Zadanie tego typu pojawiło się chociażby tutaj : 59 edycja, FW – Zadanie 1B, podpunkt e)
Doprowadzamy tam równanie do postaci :
\(\displaystyle U = -I^{2}R + I \cdot SEM \)
Zgodnie z treścią zadania, mamy teraz wyznaczyć wartość natężenia (I), dla którego moc ogniwa (U) jest największa. Jest to właśnie pytanie to maksimum funkcji (zauważ, że parametr a jest mniejszy od zera, zatem faktycznie będziemy wyznaczać maksimum). Korzystamy zatem ze wzoru uzyskując :
\(\displaystyle I = \frac{- SEM}{- 2R} = \frac{SEM}{2R} \)
To już koniec tego zadania – zwróć jednak uwagę jak zostało to zrobione w oficjalnym rozwiązaniu. Użyto pochodnych! Jako zawodnicy od razu myślimy sobie, że jest to w takim razie zadanie niezwykle trudne, ale co bardziej niepokojące – czy w końcu na Olimpiadę mam znać całki i pochodne?
Nie martw się, nie musisz! Analiza matematyczna nie obowiązuje nawet na finałach. Ba! nie obowiązuje nawet na IChO.
Na zakończenie chciałbym jeszcze zwrócić uwagę, że nie zawsze musisz się ,,męczyć” z równaniami kwadratowymi. Weźmy przykład maturalnego zadania z wcześniej wspomnianą estryfikacją, gdzie musimy rozwiązać następujące równanie :
\(\displaystyle 4 = \frac{x^{2}}{(x-1)^{2}} \)
Po pewnym czasie bardzo łatwo wpaść w szpony rutyny, a mianowicie : ,,widzę iks do kwadratu, czyli mam równanie kwadratowe, wyliczam deltę (lub : wstawiam do kalkulatora) i koniec”. Zastanówmy się jednak czy znamy jakieś działanie, które powoduje ,,obniżenie potęg”, inaczej mówiąc, działanie odwrotne do potęgowania? Oczywiście, jest to pierwiastkowanie i właśnie to możemy zrobić – obustronnie spierwiastkować równanie!
\(\displaystyle 2 = \frac{x}{x – 1} \)
Ale uwaga! Jest tutaj pułapka! Przypominasz sobie równanie z samego początku : \(\displaystyle x^{2} = 4 \) ? Pamiętasz, że rozwiązaniem nie było tylko dwa, ale także minus dwa! Musimy to uwzględnić podczas pierwiastkowania!
\(\displaystyle 4 = \frac{x^{2}}{(x-1)^{2}} \ \ \ \ \ \sqrt{} \)
\(\displaystyle 2 = \frac{x}{x – 1} \) lub \(\displaystyle – 2 = \frac{x}{x – 1} \)
Rozwiązując oba równania otrzymujemy dwa wyniki : \(\displaystyle x = 2 \) lub \(\displaystyle x = \frac{2}{3} \)
Tutaj akurat nie ma znaczenia to pierwiastkowanie, bo sposób rozwiązania pełni drugorzędną rolę – rób tak jak Tobie wygodniej. Spójrzmy jednak na fragment zadania dotyczącego równowagi chemicznej, a konkretnie reakcji syntezy amoniaku. W pewnym momencie przekształceń możemy napotkać następujące równanie, którego celem jest wyznaczenie wartości \(\displaystyle x \) , natomiast wartości \(\displaystyle K_{p} \) oraz \(\displaystyle p \) są nam znane.
\(\displaystyle K_{p} = \frac{ 4x^{2} \ \cdot \ (4 – 2x)^{2} }{ 27\cdot (1 – x)^{4} \cdot p^{2} } \)
Mamy tutaj równanie czwartego stopnia! Jest to coś niedopuszczalnego na Olimpiadzie, ponieważ ich rozwiązywanie jest bardzo trudne (już równania 3-go stopnia to kosmos : równania sześcienne (wiki) ). Jeśli jednak coś takiego się pojawiło, to jest to dla nas od razu wskazówka! Na pewno da się zrobić coś, aby sprowadzić to chociaż do równania kwadratowego, które potrafimy rozwiązać! Wystarczy spierwiastkować równanie!
\(\displaystyle \sqrt K_{p} = \sqrt \frac{ 4x^{2} \ \cdot \ (4 – 2x)^{2} }{ 27\cdot (1 – x)^{4} \cdot p^{2} } = \frac{2x \cdot (4 – 2x)}{ \sqrt 27 \cdot (1 – x)^{2} \cdot p} \)
Tutaj nie da się po prostu ruszyć dalej, jeśli by się o tym pierwiastkowaniu nie pomyślało!
