Matematyka na Olimpiadzie Chemicznej – logarytmy

Matematyka na Olimpiadzie Chemicznej – logarytmy

Okres wakacyjny, kiedy mamy jeszcze stosunkowo dużo czasu do zawodów to dobry moment na to, aby nadrobić braki w podstawach, a takimi z pewnością są niektóre niezbędne umiejętności matematyczne, które będą potrzebne na OlChemie. W tym roku logarytmy przydadzą Wam się na pewno, chociażby ze względu na to, że w Folderze Wstępnym pojawiła się elektrochemia. Oczywiście, nawet gdyby jej tam nie było, to logarytmy są na tyle często pojawiającym się elementem w chemicznych równaniach, że po prostu musicie to umieć.

Ogólna zasada przygotowania do Olimpiady jest następująca – jeśli do zawodów zostało dużo czasu, to naukę powinieneś rozpocząć od działu, z którego jesteś najsłabszy.

Wiem, że dużo osób ma problem z logarytmami (sam też go miałem), ponieważ zabieramy się za nie bardzo często zanim jeszcze pojawią się one w szkole na lekcjach matmy. Wychodzi wtedy na to, że uczymy się ich na pamięć na zasadzie : skoro pH wynosi 10, to stężenie jonów wodorowych wynosi  \displaystyle [H^{+}] = 10^{-10} . Wszystko to jednak potem się robi takie intuicyjne i w głębi duszy wiemy, że nie bardzo rozumiemy temat i po to właśnie jest ten artykuł. Oczywiście całość jest zrobiona pod kątem chemicznym, dlatego też będziemy działać na wzorach, które pojawiają się lub mogą pojawić na Olimpiadzie Chemicznej.

Spis treści :

  1. Funkcja wykładnicza 
  2. Funkcja eksponencjalna
  3. Logarytmy – czyli jak radzić sobie, gdy niewiadoma  x  jest w potędze ?
  4. Własności logarytmów 
  5. Wzory chemiczne z logarytmami – czyli zadania do treningu. 

1.  Funkcja wykładnicza

Zanim zaczniemy logarytmy, przypomnimy sobie funkcję wykładniczą. Pewnie w codziennym życiu spotkaliście się już ze sformułowaniem ,,wzrost wykładniczy” , a to nawet przy okazji tempa rozprzestrzeniania się koronawirusa. Takie określenie oznacza po prostu bardzo szybki (gwałtowny) wzrost.

Rozpatrzmy proces rozpadu promieniotwórczego uranu-235. Każdy taki rozpad jest związany w emitowaniem (tworzeniem) trzech neutronów. Zobaczmy jak szybko rośnie liczba neutronów. Tak, rośnie ona wykładniczo.

Uran235 logarytmiczny wykładniczy wzrost.jpg

 

Zatem liczba neutronów wynosi 1, 3, następnie 9. Nietrudno ustalić, że następną liczbą w takim szeregu byłoby 27, potem 81 i tak dalej. Możemy to wyrazić za pomocą funkcji wykładniczej :

\displaystyle y = a ^{x}     w naszym przypadku  :  \displaystyle y = 3^{x}

Wykres funkcji wykładniczej 3^x.jpg

Zwróćmy uwagę na kilka cech charakterystycznych tego wykresu :

  • wykres przechodzi przez punkt (0,1) , ponieważ każda liczba podniesiona do potęgi zero wynosi jeden. W naszym przypadku :    \displaystyle 3^{0} = 1)
  • wartości  \displaystyle y   są małe oraz dodatnie jeśli  \displaystyle x < 0   , np.  \displaystyle 3^{-3} = 0,037
  • wartości  \displaystyle y   są duże oraz dodatnie jeśli  \displaystyle x >0    , np.  \displaystyle 3^{3} = 27
  • w pewnym momencie wykres funkcji idzie mocno do góry (wartości \displaystyle y bardzo szybko się zwiększają).

W przypadku ogólnie zapisanej postaci tej funkcji czyli  \displaystyle y = a ^{x}   , wartość  \displaystyle a   nazywamy podstawą tej funkcji. Generalnie  a \neq 1 , ponieważ inaczej byłaby to funkcja stała.

Wykładniczo rośnie także liczba możliwych stereoizomerów danego związku – jeśli założyć, że związek ma x centrów stereogenicznych, to możliwa liczba jego stereoizomerów teoretycznie wynosi  \displaystyle 2^{x} . Wiesz, kiedy ta równość nie będzie spełniona?

2.  Funkcja eksponencjalna

Nas będzie interesował jeden konkretny przypadek funkcji wykładniczej, a dokładnie taki, w którym podstawą jest liczba  \displaystyle e , którą nazywamy stałą Nepera. Stała Nepera, będąca liczbą niewymierną (czyli nie można jej wyrazić w postaci ułamka, podobnie jak liczby pi) wynosi  \displaystyle e = 2,718...   i nazywamy ją także stałą (liczbą) Eulera. Funkcja eksponencjalna ma zatem ogólną postać:

\displaystyle y = e^{x}

Możemy się także spotkać z zapisem \displaystyle exp zamiast literki  \displaystyle e  , która w chemii może mieć inne znaczenie (e może oznaczać ładunek elektronu). Wówczas po wyrażeniu \displaystyle exp   naszego iksa zapisujemy nie w potędze tylko w nawiasie. Zapis taki pojawił się na przykład tutaj : 54 edycja, I etap : Zadanie 3, podpunkt b2) . Również znajdziemy zapis podany z przybliżoną wartością  \displaystyle e , chociaż jak się niedługo przekonamy, raczej takiego zapisu będziemy unikać.

\displaystyle y = exp(x)               \displaystyle y = 2,718^{x}

Wykres funkcji eksponencjalnej został przedstawiony poniżej :

Wykres funkcji eksponencjalnejWykres funkcji eksponencjalnej z minus x

Zwróć uwagę, że dla funkcji  \displaystyle e^{x} wykres rośnie od lewej do prawej strony, natomiast w przypadku funkcji  \displaystyle e^{-x}   wykres maleje od lewej do prawej.

Przechodzimy do kwestii praktycznej, czyli jak używać literki   \displaystyle e   w kalkulatorze.

Zaczniemy od małego eksperymentu. Zapiszemy naszą nowo poznaną stałą Nepera z nieco większą dokładnością, czyli  \displaystyle e = 2,71828   . Zaczniemy teraz podstawiać wartości  x   przyjmując różną dokładność podstawy naszej funkcji eksponencjalnej czyli  \displaystyle e .

\displaystyle 2,718^{10} = 22003,64           \displaystyle 2,71828^{10} = 22026,3

Używając dokładniejszej wartości stałej Nepera (z użyciem kalkulatora) otrzymamy :  \displaystyle e^{10} = 22026,47   

Jak widzimy funkcja wykładnicza jest wrażliwa na zaokrąglenia i generalnie najlepiej używać jak najbardziej dokładnej wartości \displaystyle e . Dlatego też z pomocą przychodzi kalkulator, jednak dla początkujących zawodników, jego użycie wcale nie jest takie proste.

  1. Znajdź przycisk logarytmu naturalnego (symbol :  ln )   na swoim kalkulatorze. Zauważ, że nad tym przyciskiem narysowane są dwie literki  \displaystyle e , jedna na kolor żółty/pomarańczowy (generalnie bardziej jasny, zależnie od kalkulatora) , a druga na przycisk ciemniejszy (czerwony, różowy). Nas interesuje właśnie ta druga literka \displaystyle e , narysowana po prawej stronie nad przyciskiem ln .                        Kalkulator przycisk SHIFT, ALPHA oraz ln stała nepera.jpg
  2. Teraz spójrz na lewy górny róg swojego kalkulatora – tam znajdziesz dwa przyciski :  SHIFT oraz ALPHA.  Zobacz, że odpowiadają one barwom naszych dwóch literek e. I ogólnie, jeśli chcesz wpisać symbol, który znajduje się nad danym przyciskiem, to musisz najpierw wcisnąć symbol SHIFT lub ALPHA, zależnie od tego w jakim kolorze jest narysowany ten symbol, który Cię interesuje.
  3. Teraz należy kliknąć ALPHA, a następnie przycisk ln. Na wyświetlaczu pojawi się symbol stałej Nepera e. Jeśli nie wierzysz, to wciśnij teraz znak równości (=) i na kalkulatorze pojawi się jej wartość.                                          Wciśnięta stała Nepera w kalkulatorze.jpgWciśnięta stała Nepera w kalkulatorze ze znakiem równa się z wartością
  4. Jeśli teraz chciałbyś obliczyć wartość  \displaystyle e^{10}  , to wystarczy wcisnąć kolejno :  ALHPA  \displaystyle \rightarrow   ln  \displaystyle \rightarrow   ^  \displaystyle \rightarrow 10 \displaystyle \rightarrow   =       i otrzymasz wynik.

Obliczanie funckji eksponencjalnej.jpg

 

3.  Logarytmy – czyli jak radzić sobie, gdy  jest w potędze ?

Zauważ, że rozwiązanie równania (obliczenie x) w przypadku funkcji wykładniczej jest trudne. Oczywiście z równaniem w stylu :   \displaystyle 3^{x} = 81 \implies x = 4  nie ma żadnego problemu, ale jak rozwiązać równanie :  \displaystyle 3^{x} = 75   ?

Odpowiedzią są logarytmy. W chemii używamy głównie dwóch logarytmów : naturalnego (symbol  ln) oraz dziesiętnego (symbol log) – odszukaj je teraz na swoim kalkulatorze.

Logarytmy powstały po to, aby z bardzo dużych liczb (np.  \displaystyle 10^{13} ) lub bardzo małych liczb (\displaystyle 10^{-13} ) zrobić liczby dużo mniejsze, można by powiedzieć – wygodniejsze w użyciu i mowie. Obliczmy logarytmy z obu tych liczb. W tym celu klikasz w kalkulatorze :  ln lub log , a następnie wpisujesz liczbę, którą chcesz obliczyć, a potem oczywiście wciskasz znak równości.   

  • \displaystyle log \ 10^{13} = 13     oraz \displaystyle ln \ 10^{13} = 29,93
  • \displaystyle log \ 10^{-13} = - 13     oraz  \displaystyle ln \ 10^{-13} = - 29,93 

Widzimy zatem, że jeśli trzeba obliczyć logarytm (czy to dziesiętny czy naturalny) z dowolnej liczby to jest to bardzo przyjemna czynność – wystarczy to wprowadzić do kalkulatora i niczym nie musimy się martwić. Pochylimy się teraz nieco dokładniej nad definicją logarytmu :

\displaystyle log_{a} \ b = c  \iff a^{c} =  b

Powyższe czytamy następująco :  logarytm o podstawie  \displaystyle a   z liczby  \displaystyle b   jest równe  \displaystyle c   . Wówczas spełniona jest równość, że  \displaystyle a   podniesione do potęgi  \displaystyle c   wynosi  \displaystyle b .

Skoro np.  \displaystyle 2^{3} = 8   to można by napisać, że  \displaystyle log_{2} \ 8 = 3

W chemii na szczęście będziemy używać tylko dwóch logarytmów : dziesiętnego (to znaczy o podstawie równej  \displaystyle a = 10 ) oraz naturalnego (o podstawie równej e czyli poznanej nam już stałej Nepera :  \displaystyle a =  e ). Ta podstawa to jest dokładnie ta sama podstawa, którą poznaliśmy w funkcji wykładniczej, która miała postać :  \displaystyle  y = a^{x} .

W przypadku logarytmu naturalnego zamiast pisać  \displaystyle log_{e}   piszemy po prostu  \displaystyle ln   . Z kolei w przypadku logarytmów ,,dziesiątkę” pomija się w zapisie, więc zamiast pisać  \displaystyle log_{10}   piszemy zwyczajnie :  \displaystyle  log . Jeśli zatem przy logarytmie nie widzisz żadnej podstawy, to znaczy że wynosi ona dziesięć.

Zatem  \displaystyle  log_{e} \ x = ln \ x    oraz  \displaystyle log_{10} \ x = log \ x 

Korzystając zatem z definicji logarytmów łatwo ustalić, że :

\displaystyle  ln \ x  = 5  \implies x = e^{5} = 148,41

\displaystyle  log \ x  = 5  \implies x = 10^{5} = 100000

Spróbuj wpisać do kalkulatora logarytm z ujemnej liczby – co się wydarzyło i dlaczego?

 

4.  Własności logarytmów

Stosunkowo często spotkacie się z przekształceniami wzorów, w których przydadzą się poniższe własności logarytmów. Łatwo te zależności udowodnić i pewnie będzie to robić w szkole na matmie w swoim czasie. Możesz także spróbować samemu. Trzecia równość będzie kluczowa w przypadku równania Nernsta, a więc przyda się na pewno w elektrochemii sygnalizowanej w Folderze B. 

\displaystyle (1) \ : \ \ \ log \ x + log \ y = log \ (x \cdot y)

\displaystyle (2) \ : \ \ \ log \ x - log \ y = log \ \Big ( \frac{x}{y} \Big) 

\displaystyle (3) \ : \ \ \ log \ x^{a} = a \ log \ x

Przykładowo :

\displaystyle (1) \ : \ \ \ log \ 7 + log \ 4= log \ 28

\displaystyle (2) \ : \ \ \ log \ 7 - log \ 4= log \ 1,75

\displaystyle (3) \ : \ \ \ log \ x^{3} = 3 \ log \ x

Własności te oczywiście są spełnione także dla logarytmów naturalnych – ważne tylko, aby logarytmy której dodajemy czy odejmujemy miały tą samą podstawę. Zatem :

\displaystyle  \ ln \ x + ln \ y = ln \ (x \cdot y) , ale już  \displaystyle  \ ln \ x + log \ y \neq ln \ (x \cdot y)

Możemy teraz wrócić do równania, które pojawiło się w poprzedniej części czyli   \displaystyle 3^{x} = 75   . Tak samo jak równanie można obustronnie mnożyć, dzielić, tak samo możemy równanie obustronnie zlogarytmować. Możemy wprowadzić dowolny logarytm (byle był taki sam po obu stronach), a więc u nas w praktyce będzie to logarytm dziesiętny lub naturalny. Nasze równanie sprowadzamy zatem do następującej postaci :

\displaystyle 3^{x} = 75 \implies log \   3^{x} = log \ 75

Korzystając z (3) własności logarytmów mamy : \displaystyle x \ log \  3 = log \ 75

Logarytmy z trzech oraz siedemdziesięciu pięciu możemy bezpośrednio obliczyć w kalkulatorze i wówczas obliczenie  x  jest już banalne.

\displaystyle x = \frac{log \ 75}{log \ 3} = \frac{1,875}{0,477}  \implies x = 3,93

Używając logarytmów naturalnych otrzymamy identyczny wynik :

\displaystyle x = \frac{ln\ 75}{ln \ 3} = \frac{4,317}{1,0986}  \implies x = 3,93


Własności logarytmów mogły przydać się dwa lata temu  65 edycja, I etap : Zadanie 1 – podpunkt a) . Podczas rozwiązywania można było otrzymać równanie (patrz także tutaj : Analiza I etapu 65 OlChemu ).

\displaystyle \frac{v_{1}}{v_{2}} = \frac{[NO]^{\alpha}_{1}}{[NO]^{\alpha}_{2}}

Celem zadania jest obliczenie wartości alfa (\displaystyle \alpha ) , reszta wartości jest znana.

\displaystyle \frac{v_{1}}{v_{2}} = \Bigg ( \frac{[NO]_{1}}{[NO]_{2}} \Bigg )^{\alpha}

Po zlogarytmowaniu (bo przecież chcemy obliczyć niewiadomą alfa, która jest w potędze – nie ma znaczenia czy używamy logarytmu dziesiętnego czy naturalnego) :

\displaystyle log \ \Bigg ( \frac{v_{1}}{v_{2}} \Bigg ) = log \ \Bigg ( \frac{[NO]_{1}}{[NO]_{2}} \Bigg )^{\alpha}

Korzystamy z własności logarytmów (3) :

\displaystyle log \ \Bigg ( \frac{v_{1}}{v_{2}} \Bigg ) = log \ \Bigg ( \frac{[NO]_{1}}{[NO]_{2}} \Bigg )^{\alpha}

Pobawmy się w wyprowadzenie wzoru na alfę (chociaż już sobie można powstawiać dane liczbowe na każdym etapie, jak Wam wygodniej) :

\displaystyle \alpha = \frac{log \ \Bigg ( \frac{v_{1}}{v_{2}} \Bigg )}{log \ \Bigg ( \frac{[NO]_{1}}{[NO]_{2}} \Bigg )}


Patrząc pod kątem elektrochemii, która pojawiła się w Folderze Wstępnym, warto wspomnieć także o dodatkowej własności logarytmów, która jest kluczowa w równaniu Nernsta, a mianowicie wzajemnym przeliczaniu logarytmu naturalnego na logarytm dziesiętny i odwrotnie :

\displaystyle (4) \ : \ \ \  log \ x \cdot ln \ 10 = ln \ x

Równanie Nernsta ma postać :  \displaystyle  E = E^{\circ} + \frac{RT}{zF} \ ln \bigg ( \frac{1}{Q} \bigg )

W zadaniach najczęściej spotkamy się z temperaturą równą 25 stopniom Celsjusza, zatem można obliczyć cały człon \displaystyle \frac{RT}{zF}   (bez literki z , która oznacza liczbę elektronów). Wówczas w książkach spotkamy bardzo często następującą postać tego równania :

\displaystyle  E = E^{\circ} + \frac{0,059}{z} \ log \bigg ( \frac{1}{Q} \bigg )

Podstawianie  \displaystyle  T = 298,15 \ K   ,  \displaystyle  R = 8,314 \ \frac{J}{mol \cdot K}    oraz  \displaystyle  F = 96485 \ \frac{C}{mol}   nie prowadzi od razu do powyższej postaci (czyli do liczby 0,059). Powodem tego jest fakt, że zmianie uległ tutaj logarytm! Zmieniliśmy logarytm naturalny na logarytm dziesiętny i musimy to uwzględnić w naszych obliczeniach, korzystając z własności logarytmów (4).

\displaystyle  E = E^{\circ} + \frac{8,314 \cdot 298,15}{96485z} \ ln \bigg ( \frac{1}{Q} \bigg )

\displaystyle  E = E^{\circ} + \frac{0,02569}{z} \ ln \bigg ( \frac{1}{Q} \bigg )

\displaystyle  E = E^{\circ} + \frac{0,02569 \cdot ln \ 10}{z} \ log \bigg ( \frac{1}{Q} \bigg )

Co prowadzi wreszcie do wartości 0,059 w liczniku.

 

5.  Wzory chemiczne z logarytmami

5.1  Wzór na entalpię swobodną :   \displaystyle \Delta G = -RT \ ln \ K

Zadanie : przekształć powyższe równanie, aby otrzymać wzór na stałą równowagi  \displaystyle K

\displaystyle \Delta G = -RT \ ln \ K  \implies  ln \ K = \frac{\Delta G}{-RT}

W takim razie :  \displaystyle  K = e^{ \frac{- \Delta G}{RT}}

Zadanie :  Entalpia swobodna reakcji w temperaturze 25 stopni Celsjusza wynosi \displaystyle \Delta G = - 2,2 kJ \slash mol   . Oblicz stałą równowagi tej reakcji.

RozwiązanieKlasyczny błąd w tym zadaniu to bezmyślne podstawianie do wzoru, czyli inaczej mówiąc – nie zwracanie uwagi na jednostki. Entalpia swobodna została podana w kilodżulach, natomiast stała gazowa jest podana w dżulach, a więc trzeba te jednostki ujednolić!

\displaystyle \Delta G = -RT \ ln \ K     czyli  \displaystyle -2200  =  -8,314 \cdot 298 \cdot ln \ K

W takim razie : \displaystyle ln \   K = 0,888 \implies K = e^{0,888} = 2,43

Zadanie :  Udowodnij, że jeżeli stan równowagi dowolnej reakcji jest przesunięty w prawą stronę, to entalpia swobodna takiej reakcji jest ujemna.

Rozwiązanie :  Stała równowagi to w prosty sposób mówiąc stosunek ilości produktów do substratów. Jeśli stan równowagi jest przesunięty w prawą stronę, to oznacza to, że produktów jest więcej, a stała równowagi przyjmuje wartości większe od jednego. Zatem :

\displaystyle K > 1  \implies  ln \ K > 0

Ponadto \displaystyle R = 8,314 > 0   , a temperatura jest wyrażona w kelwinach, zatem  \displaystyle T > 0   (oczywiście temperatura może być równa zero, jednak jak doskonale wiemy, nie jest to sytuacja z życia codziennego).

Skoro logarytm ze stałej równowagi jest dodatni, stała gazowa i temperatura są dodatnie, to cały człon  \displaystyle RT \ ln \ K   jest dodatni, a ostatecznie entalpia swobodna na mocy wzoru \displaystyle \Delta G = -RT \ ln \ K   jest ujemna, czyli mniejsza od zera.

Pytanie brzmi – skąd mam wiedzieć, że logarytm z liczby większej od jednego jest akurat dodatni? Generalnie nawet nie trzeba tego wiedzieć, ponieważ na zawodach masz nieocenioną pomoc – kalkulator! Spróbujmy podstawić dowolną liczbę większą i mniejszą od jednego :

  • \displaystyle ln \ 5 = 1,609
  • \displaystyle ln \ 0,3 = -1,204

Jak nietrudno zauważyć logarytm z liczby większej od jednego jest dodatni, a z liczby mniejszej od jednego jest ujemny. Właśnie w ten sposób należy kombinować na zawodach!

5.2  Wzór na pH :   \displaystyle pH = -log \ [H^{+}]

Zadanie :  Oblicz stężenie jonów wodorowych w roztworze o pH równym 4,8.

\displaystyle pH = -log \ [H^{+}]    czyli  \displaystyle 4,8= -log \ [H^{+}]

\displaystyle -4,8= log \ [H^{+}] \implies [H^{+}]  = 10^{-4,8}

W takim razie :  \displaystyle  [H^{+}] = 1,58 \cdot 10^{-5}

Zadanie :  Korzystając z wyrażenia na iloczyn jonowy wody udowodnij równość  \displaystyle pH + pOH = 14

Rozwiązanie : Mam nadzieję, że wiesz coś na temat chemii analitycznej, pomimo że nie ma jej w Folderze Wstępnym. Jeśli Twoje przygotowanie opiera się w głównej mierze na folderze, to wiedz że obrałeś złą drogę przygotowań. 

\displaystyle [H^{+}] \cdot [OH^{-}] = 10^{-14}

\displaystyle - log \Big ( [H^{+}] \cdot [OH^{-}] \Big ) = - log \Big (  10^{-14} \Big )

\displaystyle - \Big ( log \ [H^{+}] + log \ [OH^{-}] \Big ) = 14

\displaystyle -  log \ [H^{+}] + (- log \ [OH^{-}] ) = 14

Wiemy, że \displaystyle pH = -log \ [H^{+}]   oraz analogicznie \displaystyle pOH = -log \ [OH^{-}]   , zatem :

\displaystyle pH + pH = 14

Zadanie :  Wyprowadź równanie Hendersona-Hasselbalcha, czyli tak zwany wzór na bufor.

Rozwiązanie : Weźmy przykładowy bufor składający się z kwasu HF oraz NaF odpowiednio o stężeniach  \displaystyle c_{k}   oraz  \displaystyle c_{z}

\displaystyle  HF \rightleftarrows H^{+} + F^{-}             \displaystyle K_{a} = \frac{[H^{+}] [F^{-}] }{[HF }

Przekształcam powyższe wyrażenie, aby otrzymać wzór na stężenie jonów wodorowych, aby ostatecznie uzyskać wzór na pH.

\displaystyle [H^{+}] = K_{a} \cdot \ \frac{[HF]}{ [F^{-}] }

\displaystyle - log  [H^{+}] = - log \ \Bigg (  K_{a} \cdot \ \frac{[HF]}{ [F^{-}] }  \Bigg )

\displaystyle pH = -  \Bigg ( log \ K_{a} + log \Bigg (  \frac{[HF]}{ [F^{-}] }  \Bigg )  \Bigg )

\displaystyle pH = - log \ K_{a} - log \Bigg (  \frac{[HF]}{ [F^{-}] }  \Bigg ) 

Wprowadzimy teraz kolejną, bardzo prostą własność logarytmów :

\displaystyle (5) \ : \ \ \ log \ \frac{x}{y} = - \ log \ \frac{y}{x} 

\displaystyle pH = - log \ K_{a} + log \Bigg (  \frac{[F^{-}] }{ [HF]}  \Bigg ) 

Wprowadzając oznaczenia stężeń podane na początku oraz zauważając, że  \displaystyle   - log \ K_{a} = pK_{a}   otrzymujemy ostatecznie żądane równanie :

\displaystyle pH = pK_{a} + log \Big (  \frac{c_{z} }{ c_{k} }  \Big )

5.3  Wzór Nernsta na potencjał ogniwa\displaystyle  E = E^{\circ} + \frac{RT}{zF} \ ln \bigg ( \frac{1}{Q} \bigg )

Zadanie :  Udowodnij, że :

\displaystyle  E = E^{\circ} + \frac{RT}{2F} \ ln [H^{+}]^{2} \implies   E = E^{\circ} + \frac{RT}{F} \ ln [H^{+}]

Rozwiązanie : Zadanie jest bardzo proste, mimo to powoduje ono wiele trudności, kiedy uczymy się elektrochemii. Potencjał ten nawiązuje oczywiście do reakcji połówkowej zachodzącej według schematu :  \displaystyle 2H^{+} + 2e^{-} \rightarrow H_{2} , gdzie liczba elektronów wynosi dwa , zatem  \displaystyle z = 2 . Widząc zatem przekształcone równanie Nernsta, w którym nie dość , że brakuje dwójki, to stężenie jonów wodorowych nie jest podniesione do kwadratu można się nieco pogubić.

Wystarczy jednak tylko przypomnieć sobie własność logarytmów numer (3) i szybko okaże się, że dwójkę, do potęgi której podnoszone jest stężenie jonów wodorowych można wyprowadzić przed cały logarytm. Dwójka ta wtedy skraca się z dwójką, która jest obecna w mianowniku! 

\displaystyle  E = E^{\circ} + \frac{RT}{2F} \ ln [H^{+}]^{2} =  E^{\circ} + 2 \cdot \frac{RT}{2F} \ ln [H^{+}]

To prowadzi nas do żądanej formy tego równania!

Jest jeszcze oczywiście wiele innych wzorów, w których pojawiają się logarytmy. Ten artykuł rozrósł się już do sporych rozmiarów, zatem trzeba będzie go podzielić. Następnym razem zajmiemy się jednak sporządzaniem wykresów liniowych, zatem będziemy przekształcać równania chemiczne w zlogarytmowaną postać, aby uzyskać funkcję o postaci y = ax + b .

Leave a Reply