Promieniotwórczość – zadanie

Promieniotwórczość – zadanie

Najpierw zalecam spojrzeć do :  Promieniotwórczość – wprowadzenie

Zadanie będzie takie teoretyczno – obliczeniowe, aby umocnić trochę zdobytą w poprzednim poście wiedzę oraz aby przetestować się w podstawowych obliczeniach z zagadnienia, którego nie poruszyłem aż tak dokładnie – datowania z użyciem radioizotopu węgla.

Zadanie 1

Węgiel występuje w postaci trzech izotopów. Jeden z tych izotopów  węgiel-14 ma czas półtrwania wynoszący 5730 lat.

a) wymień te trzy izotopy i powiedz czym one się różnią między sobą.

b) w naturze węgiel-14 jest generowany w wyniku oddziaływania promieniowania kosmicznego. Węgiel-14 powstaje w największych ilościach w atmosferze na wysokości około 9-15 km jako efekt reakcji neutronu z atomem azotu :  ^{14}_{7} N . Napisz równanie powstawania węgla-14.

c) napisz reakcję rozpadu promieniotwórczego węgla-14 jeśli wiadomo, że następuje emisja cząstki  \beta ^{-}

d) podaj równanie, które opisuje prawo rozpadu promieniotwórczego.

e) wyprowadź z powyższego równania wzór na czas połowicznego rozpadu

f) po jakim czasie radioaktywna próbka przestanie ulegać reakcji rozpadu?

Datowanie radiowęglowe : węgiel ma dwa stabilne izotopy, które zostały wymienione w podpunkcie a). Reakcje rozpadu promieniotwórczego trzeciego izotopu, czyli węgla-14 są używane do techniki datowania radiowęglowego, które pozwalają na ocenę wieku jakiegoś materiału. Ogólnie moglibyście się spodziewać, że ilość węgla-14 w atmosferze będzie się ciągle zmniejszać, ale jak to było wspomniane w podpunkcie b) jest on ciągle produkowany. W ten sposób ustala nam się równowaga pomiędzy tworzeniem i rozpadem węgla-14, co powoduje że stosunek izotopów węgla nie-radioaktywnych do węgla radioaktywnego jest stały : tak w żywych organizmach jak i zwykłych ,,obiektach”. Kiedy dany organizm umiera, przestaje on wymieniać dwutlenek węgla (oddychanie) i ilość węgla-14 stale maleje. Czyli im starsza próbka, tym mniej węgla-14 będzie w sobie zawierać. Zobaczmy jak to może wyglądać w zadaniach :

g) znaleziono pewną mapę prowadzącą do skarbu i stwierdzono, że zawarty w papierze tej mapy węgiel-14 rozpada się z szybkością 14,48 rozpadów na 1 gram węgla na minutę, podczas gdy ,,naturalnie” węgiel ten rozpada się w z szybkością 15 rozpadów na 1 gram węgla na minutę. Oblicz ile lat ma ta mapa? Do obliczeń masz podany czas półtrwania węgla-14 : 5730 lat.


Rozwiązanie 1

a) naturalne izotopy węgla to :  ^{12}_{6}C \ , \  ^{13}_{6}C \ , \  ^{14}_{6}C . Zgodnie z definicją izotopu, różnią się one liczbą neutronów.

b)  ^{14}_{7} N + ^{1}_{0} n \rightarrow ^{14}_{6} C + ^{1}_{1} H

c)  ^{14}_{6} C  \rightarrow ^{14}_{7} N + e^{-}     lub   ^{14}_{6} C  \rightarrow ^{14}_{7} N + \beta ^{-}

d) ln \ \frac{N_{\circ}}{N} = kt   lub  N = N_{\circ} \cdot e^{-kt}

*czasami w odniesieniu do promieniotwórczości możecie się spotkać z innym zapisem stałej szybkości jako greckie lambda. Zapamiętajcie więc sobie, że :  k = \lambda , więc też powyższy wzór moglibyście zobaczyć w wersji :

ln \ \frac{N_{\circ}}{N} = \lambda t   lub  N = N_{\circ} \cdot e^{- \lambda t}

*zmiana takiego symbolu z ,,k” na lambdę może już mocno namieszać w Waszej psychice, zwłaszcza podczas pierwszych minut oglądania arkusza zadań na zawodach, bo od razu człowiek sobie myśli – ,,aaa! przecież nie wiem co to jest jakaś lambda więc już całego zadania nie zrobię”. Ważne jest, aby wziąć głęboki oddech i uspokoić samego siebie, że na 99% będziecie wiedzieć o co chodzi, a nawet jeśli nie, to prawdopodobnie wszystko będzie opisane w zadaniu. Takie drobne, diabelskie modyfikacje służą właśnie temu, żeby Was przestraszyć i wzbudzić to nieciekawe przeświadczenie, że sobie z danym zadaniem przez taką duperelę nie poradzicie. Spokojnie!

e) zgodnie z definicją czasu połowicznego rozpadu, liczba jąder spadnie do połowy swojej wartości początkowej, czyli matematycznie mówiąc :  N = \frac{1}{2} N_{\circ}   . Wstawiając to do równania podanego w podpunkcie d)  (oraz zamieniając symbol czasu na czas połowicznego rozpadu, aby podkreślić ten bardzo charakterystyczny moment dla danej reakcji czyli :  t = t_{1/2} ) otrzymamy :

ln \  \frac{N_{\circ}}{\frac{1}{2} N_{\circ}}= kt_{1/2} \implies  ln \ 2 = kt_{1/2}

Z czego ostatecznie otrzymujemy :  t_{1/2} = \frac{ln \ 2}{k}   lub też wkładając do kalkulatora ln \ 2 \approx 0,693   można zapisać : t_{1/2} = \frac{0,693}{k}

f) To jest podchwytliwe pytanie. Odpowiedź to : nigdy! Mamy przecież podany czas półtrwania, po którym ilość próbki ciągle maleje dwukrotnie. Więc dzielimy tą ilość ciągle na 2, ale jakąkolwiek liczbę nie będziemy ciągle dzielić na dwa, to nigdy nie dojdziemy do zera, chociaż po bardzo długim czasie ostatecznie ilość/stężenie próbki stanie się niewykrywalne dostępnymi metodami. Widać to ładnie na wykresie, który ,,wyhamowywuje” przed zerem :

Znalezione obrazy dla zapytania decay rate graph

g) przekształcając nasz wzór z prawa rozpadu promieniotwórczego na żądany w zadaniu czas otrzymujemy :

t = ln \ \frac{N_{\circ}}{N} \cdot \frac{1}{k}

Znając czas połtrwania łatwo obliczyć stałą szybkości (skorzystam z wyprowadzonego juz w podpunkcie e) wzoru :

k = \frac{ln \ 2 }{5730} \implies k = 1,21 \cdot 10^{-4}  \frac{1}{lat}

t = ln \ ( \frac{15}{14,48}) \cdot \frac{1}{1,21 \cdot 10^{-4}} \implies t \approx 291,6 \ lat

Uzyskaliśmy wynik w latach, ponieważ tak był podany czas półtrwania, więc też w takiej jednostce obliczyliśmy najpierw stałą szybkości i dlatego ostatecznie też mamy lata.

Czyli powiedzmy jeśli mapę znaleźliśmy teraz w 2018 roku, to pochodzi ona z około 1726 roku.

*Tutaj jedną rzeczą, która może być niejasna to dane przedstawione w zadaniu czyli rozpady na jeden gram węgla. Można powiedzieć, że ja sobie podstawiłem te dane jako  \frac{N_{\circ}}{N} , ale nie jest to do końca prawda. Użyłem teraz takiej zależności podobnej jak do tego zadania z 57 edycji, jakie analizowaliśmy w :  Promieniotwórczość – wprowadzenie

Można powiedzieć, że jednostka w wyrażeniu :  \frac{N_{\circ}}{N}   się kasuje. Ja w zadaniu mam podaną jednostkę w formie :  \frac{rozpad}{g \cdot min} , czyli możemy to zinterpretować w ten sposób, że powiedzmy w ciągu 1 minuty następuje 15 rozpadów w przeliczeniu na 1 g węgla-14. W zadaniu mam podane dwie takie dane, których jednostka jest taka sama (gdyby nie była, to wystarczy sprowadzić do takiej samej jednostki, bo dążymy do tego, żeby ona się skróciła, tak jak to było w :  \frac{N_{\circ}}{N} ).

W takim razie wyrażenie, które wcześniej sobie zapisałem :

t = ln \ ( \frac{15}{14,48}) \cdot \frac{1}{1,21 \cdot 10^{-4}}   , a konkretnie fragment :  \frac{15}{14,48}   zapisany na jednostkach :

\frac{15 \ \frac{rozpad}{g \cdot min}}{14,48 \ \frac{rozpad}{g \cdot min}}

Widzimy, że jednostki się skracają, zatem możemy to zadanie obliczyć właśnie w taki sposób.

Zdecydowanie nie ma sensu uczyć się o tych wszystkich bekerelach itp. wystarczy po prostu rozumować np. w powyższy sposób i z zadaniami tego typu zawsze sobie poradzicie, natomiast oczywiście gdyby promieniotwórczość jako temat pojawiła się w folderze wstępnym, to oczywiście nasze przygotowanie na taki I etap wyglądałoby inaczej.

A tak możemy być zadowoleni, ponieważ o kinetyce reakcji promieniotwórczych macie już pojęcie – wiecie przede wszystkim, że liczymy to jak reakcje I rzędu i odświeżyliście sobie zaplecze teoretyczne.

Proszę zrobić całe to zadanie z 57 edycji jako sprawdzenie samego siebie :  57 edycja – I etap , zad. 4

Znalezione obrazy dla zapytania maria curie cytat

Leave a Reply